Möbius şeridi,
Mobius Şeridi (veya daha doğru kullanımıyla Möbius Şeridi), iki yüzü olan sıradan bir kağıt şeridini yarım tur kendi etrafında bükerek uçlardan birleştirme yoluyla elde edilebilecek, sıra dışı bir tek yüzlü yüzeydir. Mobius Şeridi’nin tek yüzlü olması ve ortadan kesildiğinde iki şeride bölünmek yerine tek şerit olarak kalması gibi ilgi çekici geometrik özellikleri vardır. Her ne kadar ilk bakışta öyle gelse de aslında Mobius Şeridi sonsuz değildir; sonlu bir yüzey alanına sahiptir; sadece 1 boyutta sınırsız bir uzunluğa sahiptir.
Daha teknik/geometrik tanımıyla Mobius Şeridi, 3 boyutlu Öklidyen uzayda tek bir yüzü olan ve sadece 1 tane sınır eğrisi olan bir yüzeydir
İlk olarak 1861’de Johann Benedict Listing tarafından tanımlanmıştır. Dört yıl sonra August Ferdinand Möbius, yayınladığı bir çalışmasında tanımını vermiş, şeridin tek yüzlü olmasını yönlendirilememesiyle açıklamıştır.
Normal bir şeridin iki yüzü varken Möbius şeridinin sadece bir yüzü vardır. Başka bir ifadeyle Möbius şeridinin üzerindeki bir noktadan hareket etmeye başlandığında bütün alan taranarak aynı noktaya geri dönülür.
Möbius Şeridi, aynı zamanda sonsuzluk (infinity) sembolünün de ilham kaynağıdır.
Basit bir anlatımla, normal şartlarda bir yüzeyin iki tarafı olur. Bir yüzeyden diğer taraftaki yüzeye geçmek için ise delik açmaktan başka çözüm yolu yoktur. Möbius Şeridi’ni dikkate aldığımızda ise şerit üzerindeki herhangi bir noktadan hareket etmeye başlandığında bütün yüzey alanları taranarak başlangıç noktasına geri dönülür ve bu döngü sonsuza dek tekrarlanır. Yani elinizi kaldırmadan şeridin bir yüzeyini boyamaya başladığınızda, şeridin tamamını boyamış olacaksınız. Teoriye ait matematiksel bir denklem ve bu denklemden elde edilen şekil de literatürde tanımlanmıştır. Analitik Geometri dersleri, kübik denklemler başlığı altındaki bu denklemi anlamak için trigonometri bilmek gerekir.
Möbius Şeridi Nasıl Yapılır?
Normalde bir yüzeyin iki tarafı olur: İçi dışı ya da önü arkası. Ancak Möbius şeridi oluşturulduktan sonra yalnızca bir yüzeye sahiptir. Aslında Möbius şeridi en basit tek taraflı yüzeydir ve bir kağıt şeritten yapılması kolaydır. İsterseniz hemen deneyebilirsiniz. İnce uzun dikdörtgen biçiminde bir kağıt alın. Sonrasında bir yüzünü kırmızı noktalar diğer yüzünü ise yeşil noktalar ile boyayın. Şimdi şeridin iki ucunu alın ve tek bir büküm yaptıktan sonra, kırmızı noktalı taraf yeşil noktalı tarafla birleşecek şekilde 180 derece çevirin. Ardından iki ucu birbirine yapıştırın. Bu bir Möbius şerididir. Bu şeridin yüzeyinde parmağınızı gezdirirseniz kırmızı ve yeşil noktaların her birine dokunabilirsiniz.
Elinizdeki şeridi yapıştırdığınız yerden ayırıp, bir kere daha kendi etrafında çevirirseniz aynı sonucu elde edemezsiniz. Ancak 3. defa çevirdiğinizde yine içi dışı aynı olan tek bir yüzeye sahip olursunuz. Genel olarak çift sayıda büküm her zaman iki taraflı bir yüzey üretecektir. Ancak tek taraflı bükümler ise size tek taraflı bir yüzey verecektir.
asitliğine rağmen Möbius şeridi gerçek bir matematiksel keşifti. Topoloji, şekillerin sürekli eğilme ve esneme altında değişmeyen özelliklerini araştıran matematik disiplinidir. Yüzeylerin yönlendirilebilirliği hakkında akıl yürütme, topolojide yüzeyleri ve manifoldları anlamanın ve sınıflandırmanın anahtarlarından biridir. Möbius şeridi, üç boyutlu uzayda oluşturulabilen en basit, yönlendirilemeyen, iki boyutlu yüzeydir.
Möbius Şeridi Nerelerde Karşımıza Çıkıyor?
Mobius Şeridi Ne İşe Yarar?
Her ne kadar ilk etapta sıradan bir geometrik numaradan ibaret gibi gelse de, Mobius Şeridi’nin gerçek dünyada bazı uygulamaları mevcuttur: Örneğin devasa Mobius Şeritleri, taşıma kayışlarında (kayışlı konveyörlerde) kullanılmaktadır; çünkü bu sayede şeridin her iki yüzü de eşit miktarda aşınmaya maruz kalarak şeridin kayışın ömrünü uzatmak mümkün olmaktadır. Benzer şekilde, kayıt yapmakta kullanılan kasetlerde kayıt şeridi Mobius Şeridi şeklinde yerleştirilebilmektedir; böylelikle kayıt süresi 2 katına çıkarılabilmektedir.
Elektronikte de Mobius Şeridi uygulamalarına rastlamak mümkündür: Örneğin Mobius Direnci olarak bilinen bir direnç, kendi indüktif direncini sıfırlayabilmektedir. Bu sayede bu dirençler, herhangi bir manyetik girişime sebep olmaksızın üzerinden elektrik akması mümkün olmaktadır. Buna benzer bir teknoloji, 1894 yılında Nikola Tesla tarafından patentlenmiştir: Tesla, kablosuz elektrik iletimi için geliştirdiği Elektromıknatıslar İçin Bobin patentinde, Mobius Şeridi’nden faydalanmıştır.
Mobius Şeridi, Müzik Teorisi’nde de kullanılmaktadır: Geometrik olarak Mobius Şeridi iki düzensiz noktanın konfigürasyon uzayı olduğu için, müzikte de tüm ikili notalar (“diyadlar”) bir Mobius Şeridi geometrisinde bulunurlar. Bu sayede Müzik Teorisi’nde (özellikle de orbifoldlar alanında) yeni keşiflerin önü açılabilmektedir.
Möbius şeridi sanatçılara ve mimarlara ilham kaynağı olmuştur. Maurits Cornelis Escher (17 Haziran 1898, Leeuwarden – 27 Mart 1972, Laren, Hollanda), Hollandalı ressam ve grafik sanatçısı. M.C. Escher, bunlardan biri
Birde Klein Şişesi Var 🙂
Klein şişesi 1882’de Felix Klein tarafından keşfedildi. O zamandan beri de popüler matematiksel şekiller arasında varlığını koruyor. Klein şişesi de, Möbius şeridinin tuhaf özelliklerini taşıyan 3 boyutlu geometrik bir nesnedir. Normal olarak bir şişenin bir iç bir de dış yüzeyi olması gerekir. Ancak bu Klein şişesi için geçerli değildir. Bu şişenin de tek bir yüzü vardır yani aslında iç yüzeyi ve dış yüzeyi birdir. Ayrıca Klein şişesinin, kendi gövdesini delip “içine” giren, oradan da “dibine” açılan bir de boynu vardır.
Klein Şişesi Nasıl Yapılır?
Möbius Şeridini yaparken, dikdörtgen biçimindeki şeridi uçlarından 180 derece ters olacak şekilde yapıyorduk. Klein Şişesi de bir silindiri aynı biçimde 180 derece ters olacak şekilde birleştirilerek elde edilir.
